Question

已知函数f（x）=ax²+bx+1（a，b为实数，且a≠0），x∈R时，函数f（x）的最小值是f（-1）=0．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若g（x）=f（x）-1在区间[m，n]（m＜n）上的值域也为[m，n]，求m和n的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据函数f（x）=ax²+bx+1（a，b为实数，且a≠0），x∈R时，函数f（x）的最小值是f（-1）=0，可设f（x）=a（x+1）²=ax²+2ax+a，与函数f（x）=ax²+bx+1比较，即可得出f（x）的解析式；
（Ⅱ）先确定g（x）=（x+1）²-1的值域，根据g（x）=f（x）-1在区间[m，n]（m＜n）上的值域也为[m，n]，确定m≥-1，从而可得g（x）=f（x）-1在区间[m，n]上单调增，由此可求m和n的值．

解答：解：（Ⅰ）由题意，函数f（x）=ax²+bx+1（a，b为实数，且a≠0），x∈R时，函数f（x）的最小值是f（-1）=0．
∴可设f（x）=a（x+1）²=ax²+2ax+a
与函数f（x）=ax²+bx+1比较可得a=1
∴f（x）的解析式为f（x）=（x+1）²；
（Ⅱ）g（x）=（x+1）²-1≥-1
∵g（x）=f（x）-1在区间[m，n]（m＜n）上的值域也为[m，n]，
∴m≥-1
∴g（x）=f（x）-1在区间[m，n]上单调增
∴

(m+1)2-1=m (n+1)2-1=n

∴m，n是方程（x+1）²-1=x的两根
即m，n是方程x²+x=0的两根
∵m＜n
∴m=-1，n=0．

点评：本题重点考查函数的解析式，考查函数的单调性与值域，（2）问先确定函数的值域是关键．