Question

如图所示的螺旋线是用以下方法画成的，△ABC是边长为1的正三角形，曲线CA₁，A₁A₂，A₂A₃分别是A，B，C为圆心，AC，BA₁，CA₂为半径画的弧，曲线CA₁A₂A₃称为螺旋线的第一圈；然后又以A为圆心，AA₃半径画弧，如此继续下去，这样画到第n圈．设所得螺旋线CA₁A₂A₃…A_3n-2A_3n-1A_3n的总长度为S_n．求
（1）S₁=________；
（2）S_n=________．

Answer 1

解：（1）当n=1时，S₁=+2×+3×=4π
（2）根据弧长公式知CA₁，A₁A₂，A₂A₃…A_3n-2A_3n-1，A_3n-1A_3n的长度分别为：，，…，，
化简得：，2×，3×，…，3n×，此数列是 为首项，为公差，项数为3n的等差数列，则根据等差数列的求和公式得S_n=3n×+×=2nπ+nπ（3n-1）=n（3n+1）π．
故答案为：4π、n（3n+1）π
分析：（1）当n=1时，即为螺旋线CA₁A₂A₃的长度和，所以S₁=+2×+3×=4π
（2）由题知如果这样画到第n圈得到n条螺旋线，是由3n条弧长构成，这些弧长的圆心角都为 ，根据弧长公式得到这些弧长是 为首项，为公差，项数为3n的等差数列，所以这些螺旋线的总长度即为等差数列的前3n的和，求出即可．
点评：本题主要考查了等差数列的性质和数列的求和．解题的关键是归纳总结得到各弧长成等差数列，此题锻炼了学生会经过观察归纳总结得出结论的能力．