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精英家教网如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,点G是侧面三角形PBC的重心;
(1)求证:AC⊥平面PBD.
(2)求AG与平面PBD所成的角的正弦值.
(3)在侧棱PD上是否存在一点N,使得PB∥平面AGN?,若存在试确定点N的位置,若不存在,试说明理由.
分析:(1)根据已知中底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,我们易得AC⊥BD,PD⊥AC,结合线面垂直的判定定理,即可得到AC⊥平面PBD.
(2)以D为原点,DA,DC,DP分别为x轴,y轴,z轴,建立空间坐标系,设PD=DC=1,则我们可以求出直线AG的方向向量与平面PBD的法向量,代入向量夹角公式,即可求出AG与平面PBD所成的角的正弦值.
(3)设PD上存在点N,使DN=λDP,我们易根据PB∥平面AGN,构造λ的方程,解方程求出满足条件的λ值,即可得到答案.
解答:证明:(1)∵ABCD是正方形,∴AC⊥BD,又PD⊥底面ABCD,则PD⊥AC,从而AC⊥平面PBD;
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解:(2)以D为原点,DA,DC,DP分别为x轴,y轴,z轴,不妨设PD=1,则DC=1,从而有A(1,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0)P(0,0,1),又G为△PBC的重心,
G(
1
3
2
3
1
3
)
.由(1)知
AC
是平面PBD的法向量,
则AG与平面PBD所成的角θ=
π
2
-?
AC
AG

易知
AC
=(-1,1,0)
AG
=(-
2
3
2
3
1
3
)

sinθ=cos?
AC
AG
>=
2
2
3
为所求;
(3)设PD上存在点N,使DN=λDP,则
DN
DP
=λ(0,0,1)=(0,0,λ)
AN
=
AD
+
DN
=(-1,0,λ)
,又
PB
=(1,1-1)
,若PB∥平面AGN,则向量
PB
AN
AG
共面,依共面向量定理知存在实数m,n,使得
PB
=m
AN
+n
AG
,即(1,1,-1)=m(-1,0,λ)+n(-
2
3
2
3
1
3
)
,则
-m-
2
3
n=1
2
3
n=1
mλ+
1
3
n=-1
解得
m=-2
n=
3
2
λ=
3
4
,故侧棱PD上存在点N,当DN=
3
4
DP
时满足条件.
点评:本题考查的知识点是直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定,其中(1)的关键是证得AC⊥BD,PD⊥AC,(2)、(3)的关键是建立空间坐标系,将空间直线与平面的夹角问题转化为向量夹角问题.
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2
,∠PAB=60°.
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