Question

袋内有35个球，每个球上都记有从1～35中的一个号码，设号码为n的球的重量为

n2

3

-5n+20克，这些球以等可能性从袋里取出（不受重量、号码的影响）．
（1）如果取出1球，试求其重量比号码数大5的概率；
（2）如果任意取出2球，试求它们重量相等的概率．

Answer 1

考点：相互独立事件的概率乘法公式,互斥事件的概率加法公式

专题：概率与统计

分析：（1）试验发生包含的事件是任取1个球，共有35个等可能的结果，满足条件f（n）＞n+5，解关于n的一元二次不等式，得到n的范围，看出n的个数，然后根据古典概型及其概率计算公式可得到概率．
（2）试验发生包含的事件是任取两个球共有C₃₅²种等可能的取法，满足条件的事件是它们重量相等，写出关于n的方程，根据条件得到n之间的关系，得到符合条件的事件数，最后根据古典概型及其概率计算公式可得到概率．

解答： 解：（1）由

n2

3

-5n+20＞n+5，求得n＜3，或n＞15，
由题意，知n=1，2或n=16，17，…，35．
于是所求概率为

22

55

．
（2）（2）设第n号与第m号的两个球的重量相等，其中n＜m，
则有由

n2

3

-5n+20=

m2

3

-5m+20，∴（n-m）（n+m-15）=0，
∵n≠m，∴n+m=15，
∴（n，m）有：（1，14），（2，13），…，（7，8），共计7个，
故要求的概率为

7

C 2 35

．

点评：本题主要考查了古典概型，以及一元二次不等式的解法，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．