【题目】已知函数.
(1)讨论在上的单调性;
(2),,总有成立,求实数的取值范围.
【答案】(1)当时,函数在上单调递增;当时,在区间上单调递减,在区间上单调递增;(2).
【解析】
(1)求出,分两种情况讨论的范围,在定义域内,分别令求得的范围,可得函数增区间,求得的范围,可得函数的减区间;(2)先利用判别式,整理得,成立,,两次求导可得,由此,从而可得结果.
(1)因为,
所以.
①当时,恒成立,所以函数在上单调递增.
②当时,由,得,
当时,,单调递减;
当时,,单调递增.
综上所述,
当时,函数在上单调递增;
当时,在区间上单调递减,在区间上单调递增.
(2)由得,
,
整理得,
由题意得“,,总有成立”等价于“,,恒成立”.
所以,
方法一:整理得,成立.
令,
则.
令,则,
当时,,在区间上单调递增;
当时,,在区间上单调递减,
所以,
所以当时,,在区间上单调递增;
当时,,在区间上单调递减,
所以,
所以,
即.
故实数的取值范围为.
方法二:整理得,
令,则,
当时,,在区间上单调递增;
当时,,在区间上单调递减,
所以,
所以
即,
故实数的取值范围为.
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【题目】已知函数(且).
(1)求函数的定义域,并求出当时,常数的值;
(2)在(1)的条件下,判断函数在的单调性,并用单调性定义证明;
(3)设,若方程有实根,求的取值范围.
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【题目】在数列{an}中,若an2﹣an﹣12=p,(n≥2,n∈N*,p为常数),则称{an}为“等方差数列”,下列是对“等方差数列“的判断:
①若{an}是等方差数列,则{an2}是等差数列;
②{(﹣1)n}是等方差数列;
③若{an}是等方差数列,则{akn}(k∈N*,k为常数)也是等方差数列;
④若{an}既是等方差数列,又是等差数列,则该数列为常数列.
其中正确命题的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
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【题目】中国古代十进制的算筹计数法,在数学史上是一个伟大的创造.根据史书的记载和考古材料的发现,古代的算筹实际上是一根根同样长短和粗细的小棍子,一般长为,径粗,多用竹子制成,也有用木头、兽骨、象牙、金属等材料制成的,大约二百七十几枚为一束,放在一个布袋里,系在腰部随身携带.需要记数和计算的时候,就把它们取出来,放在桌上、炕上或地上都能摆弄.在算筹计数法中,以纵横两种排列方式来表示数字.如图,是利用算筹表示数1~9的一种方法.例如:3可表示为“”,26可表示为“”,现有6根算筹,据此表示方法,若算筹不能剩余,则用这6根算筹能表示的两位数的个数为( )
A.13B.14C.15D.16
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【题目】已知递增数列{an}前n项和为Sn,且满足a1=3,4Sn﹣4n+1=an2,设bn(n∈N*)且数列{bn}的前n项和为Tn
(Ⅰ)求证:数列{an}为等差数列;
(Ⅱ)若对任意的n∈N*,不等式λTnn(﹣1)n+1恒成立,求实数λ的取值范围.
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【题目】为了适应高考改革,某中学推行“创新课堂”教学.高一平行甲班采用“传统教学”的教学方式授课,高一平行乙班采用“创新课堂”的教学方式授课,为了比较教学效果,期中考试后,分别从两个班中各随机抽取名学生的成绩进行统计分析,结果如下表:(记成绩不低于分者为“成绩优秀”)
分数 | |||||||
甲班频数 | |||||||
乙班频数 |
(Ⅰ)由以上统计数据填写下面的列联表,并判断是否有以上的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”?
甲班 | 乙班 | 总计 | |
成绩优秀 | |||
成绩不优秀 | |||
总计 |
(Ⅱ)现从上述样本“成绩不优秀”的学生中,抽取人进行考核,记“成绩不优秀”的乙班人数为,求的分布列和期望.
参考公式:,其中.
临界值表
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【题目】某单位响应党中央“精准扶贫”号召,对某村6户贫困户中的甲户进行定点帮扶,每年跟踪调查统计一次,从2015年1月1日至2018年12月底统计数据如下(人均年纯收入):
年份 | 2015年 | 2016年 | 2017年 | 2018年 |
年份代码 | 1 | 2 | 3 | 4 |
收入(百元) | 25 | 28 | 32 | 35 |
(1)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于的线性回归方程,并估计甲户在2019年能否脱贫;(国家规定2019年脱贫标准:人均年纯收入为3747元)
(2)2019年初,根据扶贫办的统计知,该村剩余5户贫困户中还有2户没有脱贫,现从这5户中抽取2户,求至少有一户没有脱贫的概率.
参考公式:,,其中,为数,的平均数.
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