Question

4．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{log_2}x+a，x≥1\\{x^2}+3ax+2{a^2}，x＜1\end{array}\right.$，
①若a=1，f（x）的最小值是-$\frac{1}{4}$；
②若f（x）恰好有2个零点，则实数a的取值范围是[-1，-$\frac{1}{2}$]∪[0，+∞）．

Answer 1

分析 ①若a=1，分别求出当x≥1时，函数递增，可得最小值f（1）；当x＜1时，配方求得最小值，比较即可得到所求最小值；
②若f（x）恰好有2个零点，讨论a=0，a＞0，a＜0，再由单调性和二次方程的根的情况，即可得到所求a的范围．

解答 解：①若a=1，当x≥1时，f（x）=log₂x+1递增，可得x=1时，取得最小值1；
当x＜1时，f（x）=x²+3x+2=（x+$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，当x=-$\frac{3}{2}$时，取得最小值-$\frac{1}{4}$．
综上可得，f（x）的最小值为-$\frac{1}{4}$．
②若f（x）恰好有2个零点，
由f（x）在[1，+∞）递增，在[1，+∞）内最多一个零点，
当a=0时，f（x）=0时，可得x=0，1，满足题意；
当a＞0时，x≥1时，f（x）≥log₂1+a=a＞0，无零点；
x＜1时，f（x）=（x+a）（x+2a）有两个零点，即有-a＜1，且-2a＜1，成立；
当a＜0时，x≥1时，f（x）≥log₂1+a=a，有一个零点2^-a；
x＜1时，f（x）=（x+a）（x+2a）恰有一个零点，若为-a，则-a＜1，-2a≥1，且-a≠2^-a，
解得-1＜a≤-$\frac{1}{2}$；
若为-2a，则-2a＜1，-a≥1，且-2a≠2^-a，不成立．
综上可得，a的范围是-1＜a≤-$\frac{1}{2}$或a≥0．
故答案为：-$\frac{1}{4}$，[-1，-$\frac{1}{2}$]∪[0，+∞）．

点评 本题考查函数的最值和零点个数问题的解法，注意运用分类讨论思想方法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．