Question

通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间，讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f（x）表示学生掌握和接受概念的能力（f（x）的值越大，表示接受能力越强），x表示提出和讲授概念的时间（单位：分），可以有以下公式：f(x)=

-0.1x2+2.6x+43 59 -3x+107

(0＜x≤10) (10＜x≤16) (16＜x≤30)

（1）开讲多少分钟后，学生的接受能力最强？能维持多少分钟？
（2）开讲5分钟与开讲20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？
（3）一个数学难题，需要55的接受能力以及13分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？

Answer 1

分析：（1）当0＜x≤10时，f（x）=-0.1（x-13）²+59.9，可得f（x）在0＜x≤10时单调递增，最大值为f（10）=59．当10＜x≤16时，f（x）=59；当x＞16时，函数f（x）为减函数，且f（x）＜59．即可得出．
（2）f（5）=-0.1×（5-13）²+59.9=53.5，f（20）=-3×20+107=47，即可得出；
（3）当0＜x≤10时，令f（x）=55，解得x=6或20（舍去）；当x＞16时，令f（x）=55，解得x=17

1

3

，即可得到学生一直达到所需接受能力55的状态的时间，进而判断出老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题．

解答：解：（1）当0＜x≤10时，f（x）=-0.1x²+2.6x+43=-0.1（x-13）²+59.9，
f（x）在0＜x≤10时单调递增，最大值为f（10）=-0.1×（10-13）²+59.9=59．
当10＜x≤16时，f（x）=59；当x＞16时，函数f（x）为减函数，且f（x）＜59．
因此开讲10分钟后，学生的接受能力最强（为59），能维持6分钟．
（2）f（5）=-0.1×（5-13）²+59.9=53.5，f（20）=-3×20+107=47＜53.5，
因此开讲5分钟比开讲20分钟时，学生的接受能力强一些．
（3）当0＜x≤10时，令f（x）=55，解得x=6或20（舍去）；
当x＞16时，令f（x）=55，解得x=17

1

3

，
可得学生一直达到所需接受能力55的状态的时间=17

1

3

-6=11

1

3

＜13，
因此老师不能及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题．

点评：本题考查了分段函数的意义、二次函数的单调性、一次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于难题．