Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，A（a，0）（a＞0），B（0，a），C（-4，0）D（0，4）设△AOB的外接圆圆心为E．
（1）若⊙E与直线CD相切，求实数a的值；
（2）设点P在圆E上，使△PCD的面积等于12的点P有且只有三个，试问这样的⊙E是否存在，若存在，求出⊙E的标准方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据△AOB为等腰直角三角形，算出它的圆心为E（

1

2

a，

1

2

a），半径r=

2

2

a．求出直线CD的方程，根据⊙E与CD相切，利用点到直线的距离公式建立关于a的等式，解之即可得出实数a的值；
（2）由|CD|=4

2

与△PCD的面积等于12，算出P到直线CD的距离为d=3

2

．若满足条件的点P有3个，说明与CD平行且与CD距离为3

2

的两直线中的一条与⊙E相切且另一条与⊙E相交．由此算出⊙E的半径，进而算出实数a的值，得到满足条件的⊙E的标准方程．

解答：解：（1）∵C（-4，0）、D（0，4），
∴直线CD方程为

x

-4

+

y

4

=1．化简得x-y+4=0．
又∵△AOB的外接圆圆心为E（

1

2

a，

1

2

a），半径r=

2

2

a．
∴由⊙E与直线CD相切，得圆心E到直线CD的距离等于半径，
即

| 1 2 a- 1 2 a+4|

2

=

2

2

a，即2

2

=

2

2

a，解之得a=4；
（2）C（-4，0）、D（0，4），可得|CD|=

(-4-0)2+(0-4)2

=4

2

，
设P到直线CD的距离为d，可得△PCD的面积S=

1

2

|CD|×d=12，
即

1

2

×4

2

×d=12，解之得d=3

2

．
因此，只须与CD平行且与CD距离为3

2

的两条直线中的一条与⊙E相切，
另一条与⊙E相交．
∵由（1）的计算，可知圆心E到直线CD距离为2

2

，
∴圆E的半径为2

2

+3

2

=5

2

，即r=

2

2

a=5

2

，解得a=10．
即存在a=10，满足使△PCD的面积等于12的点P有且只有三个，⊙E的标准方程是（x-5）²+（y-5）²=50．

点评：本题给出三角形AOB的外接圆与直线CD，探究直线与圆的位置关系．着重考查了圆的标准方程、点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．