Question

12．已知数列{a_n}满足a_n=3n-2，f（n）=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$，g（n）=f（n²）-f（n-1），n∈N^*．
（1）求证：g（2）＞$\frac{1}{3}$；
（2）求证：当n≥3时，g（n）＞$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （1）g（2）=f（4）-f（1）=1+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{10}$-1，即可得证；
（2）求出g（n），运用数学归纳法及不等式的性质，即可得证．

解答 证明：（1）g（2）=f（4）-f（1）
=1+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{10}$-1=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{10}$=$\frac{69}{140}$＞$\frac{1}{3}$；
（2）当n≥3时，g（n）=f（n²）-f（n-1）
=1+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{3{n}^{2}-2}$-（1+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{3n-5}$）
=$\frac{1}{3n-2}$+$\frac{1}{3n+1}$+…+$\frac{1}{3{n}^{2}-2}$，
运用数学归纳法证明．
当n=3时，g（3）=$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{10}$+$\frac{1}{13}$+…+$\frac{1}{25}$＞$\frac{1}{3}$成立；
假设n=k时，g（k）＞$\frac{1}{3}$，即有$\frac{1}{3k-2}$+$\frac{1}{3k+1}$+…+$\frac{1}{3{k}^{2}-2}$＞$\frac{1}{3}$，
则n=k+1时，g（k+1）=$\frac{1}{3k+1}$+…+$\frac{1}{3{k}^{2}+6k+1}$
=$\frac{1}{3k-2}$+$\frac{1}{3k+1}$+…+$\frac{1}{3{k}^{2}-2}$+$\frac{1}{3{k}^{2}+1}$+…+$\frac{1}{3{k}^{2}+6k+1}$-$\frac{1}{3k-2}$
=g（k）+$\frac{1}{3{k}^{2}+1}$+…+$\frac{1}{3{k}^{2}+6k+1}$-$\frac{1}{3k-2}$，
可得$\frac{1}{3{k}^{2}+1}$+…+$\frac{1}{3{k}^{2}+6k+1}$-$\frac{1}{3k-2}$＞0，又g（k）＞$\frac{1}{3}$，
即有n=k+1时，g（k+1）＞$\frac{1}{3}$．
故当n≥3时，g（n）＞$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用放缩法，考查化简整理和不等式的性质，属于中档题．