Question

8．已知数列{a_n-4}是首项为1，公比为-$\frac{1}{2}$的等比数列，设S_n为数列{a_n}的前n项和，若对任意n∈N⁺，都有p•（S_n-4n）∈[1，3]，则实数p的取值范围为[2，3]．

Answer 1

分析 由已知求出数列{a_n}的通项公式，进一步求出其前n项和，代入（S_n-4n），然后对n为奇数后偶数分类求出（S_n-4n）的范围，由p•（S_n-4n）∈[1，3]得到关于p的不等式组，求出p的范围后取交集得答案．

解答 解：∵数列{a_n-4}是首项为1，公比为-$\frac{1}{2}$的等比数列，
∴${a}_{n}-4=（-\frac{1}{2}）^{n-1}$，则${a}_{n}=4+（-\frac{1}{2}）^{n-1}$．
则S_n=a₁+a₂+…+a_n=$4n+\frac{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}{1+\frac{1}{2}}$=$4n+\frac{2}{3}[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]$．
（S_n-4n）=$\frac{2}{3}[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]$．
由p•（S_n-4n）∈[1，3]，得1≤$\frac{2p}{3}[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]$≤3，
∵$1-（-\frac{1}{2}）^{n}$＞0，
∴$\frac{1}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}≤\frac{2p}{3}≤\frac{3}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$，
当n为奇数时，$\frac{1}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}=\frac{1}{1+（\frac{1}{2}）^{n}}$随n的增大而递增，且0＜$\frac{1}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$＜1，
当n为偶数时，$\frac{1}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}=\frac{1}{1-（\frac{1}{2}）^{n}}$随n的增大而递减，且$\frac{1}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$＞1，
∴$\frac{1}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$的最大值为$\frac{4}{3}$，$\frac{3}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$的小值为2．
由$\frac{1}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}≤\frac{2p}{3}≤\frac{3}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$，得$\frac{4}{3}≤\frac{2p}{3}≤2$，
解得2≤p≤3，
∴所求实p的取值范围是[2，3]．

点评 本题考查等比数列的性质，考查了等比数列的前n项和，训练了函数恒成立问题，体现了分类讨论的数学思想方法，属中高档题．