Question

已知椭圆C₁：的离心率为，x轴被抛物线C₂：y=x²-b截得的线段长等于C₁的长半轴长，
（1）求C₁，C₂的方程；
（2）设C₂与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l：y=kx与C₂相交于A，B两点，直线MA，MB分别与C₁相交于D，E，
①证明：为定值；
②记△MDE的面积为S，试把S表示成k的函数，并求S的最大值。

Answer 1

解：（1）由已知，，
∴， ①
在y=x²-b中，令y=0，得，
∴，②
由①②得，，
∴；
（2）①由，得，
设，则，
而M（0，-1），
∴

∴MA⊥MB，
∴MD⊥ME，
∴；
②设，
∵A在上，
∴，即，
∴，
∴直线AM方程为：，
代入，得，
∴，
同理，
∴，
由①知，，
∴，
令，
∴，
又在时，u为增函数，
∴，
当t=2，即k=0时，。