Question

已知x，y∈R⁺且x+y=4，求

1

x

+

2

y

的最小值．某学生给出如下解法：由x+y=4得，4≥2

xy

①，即

1

xy

≥

1

2

②，又因为

1

x

+

2

y

≥2

2 xy

③，由②③得

1

x

+

2

y

≥

2

④，即所求最小值为

2

⑤．请指出这位同学错误的原因

 

．

Answer 1

分析：在题中所给的解法中，解答过程中两次利用基本不等式，两次的等号不能同时取得，结果取不到等号．由此得到正确的解法，已知条件是一个整式等式，求得式子是分式形式，将分式乘以整式再展开，利用基本不等式求出最值，注意等号是否能取到．

解答：解：②中x=y时取等号；　③中

1

x

=

2

y

即y=2x时取等号
而②③的等号同时成立是不可能的．
故答案为：两个等号不能同时取到．

点评：本题考查利用基本不等式求函数的最值时，要注意需要考虑的条件：一正；二定；三相等．