Question

20．设函数f（x）=a|2x-1|-|x+2|．
（1）若a=1，求不等式（x）＞x-1的解集；
（2）若函数f（x）在x=-2处存在唯一的最大值，求a的值．

Answer 1

分析 （1）将a=1代入f（x），通过讨论x的范围，去掉绝对值号，解不等式即可；
（2）若函数f（x）在x=-2处存在唯一的最大值，则f（x）在（-∞，-2）递增，在（$\frac{1}{2}$，+∞）递减，且f（2）＞f（$\frac{1}{2}$），得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：（1）a=1时：f（x）=|2x-1|-|x+2|＞x-1，
①x≤-2时：不等式可化为：1-2x+x+2＞x-1，解得：x＜2，
②-2＜x＜$\frac{1}{2}$时：不等式可化为：1-2x-x-2＞x-1，解得：-2＜x＜0，
③x≥$\frac{1}{2}$：不等式可化为：2x-1-x-2＞x-1，无解，
综上：不等式的解集是：x＜0．
（2）若函数f（x）在x=-2处存在唯一的最大值，
则f（x）在（-∞，-2）递增，在（$\frac{1}{2}$，+∞）递减，且f（2）＞f（$\frac{1}{2}$），
而x＜-2时：f（x）=-a（2x-1）+x+2=（1-2a）x+a+2，
x＞$\frac{1}{2}$时：f（x）=a（2x-1）-x-2=（2a-1）x-a-2，
f（2）=-3a+4，f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{5}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-2a＞0}\\{2a-1＜0}\\{-3a+4＞-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，解得：a＜$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查函数的单调性问题，是一道中档题．