Question

已知正项数列{a_n}中，a₁=6，且a_n+1=a_n+1；数列{b_n}中，点B_n（n，b_n）在过点（0，1）且以（1，2）为方向向量的直线l上．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若f（n）=

an，n为奇数 bn，n为偶数

问是否存在k∈N，使f（k+27）=4f（k）成立，若存在，求出k值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由递推式易判断{a_n}为等差数列，由等差数列的通项公式可求得a_n，根据直线方向向量及所过点坐标可写出直线l方程，把点B坐标代入即求得b_n；
（2）先假设存在满足条件的k存在，由（1）求出f（n）解析式，然后按k为偶数、k为奇数两种情况进行讨论表示出f（k+27）=4f（k），解出即可；

解答：解：（1）∵a_n+1=a_n+1，∴a_n+1-a_n=1．
∴数列{a_n}是首项为6，公差为1的等差数列．
∴a_n=a₁+（n-1）•1=n+5．
又直线l的方程为y=2x+1，
∴b_n=2n+1．
（2）假设满足条件的k存在，
由（1）得：f（n）=

n+5，n为奇数 2n+1，n为偶数

，
当k为偶数时，k+27为奇数，
因为f（k+27）=4f（k），所以k+27+5=4（2k+1），解得k=4，
当k为奇数时，k+27为偶数，
所以2（k+27）+1=4（k+5），解得k=

35

2

（舍），
综上，存在k=4符号条件．

点评：本题考查等差数列及数列与函数的综合，考查分类讨论思想，考查学生的探究能力解决问题的能力，属中档题．