Question

已知函数f（x）=log_0.5（sin2x）
（1）求它的定义域，值域和单调区间；
（2）判断它的奇偶性和周期性．

Answer 1

分析：（1）由sin2x＞0，能求出f（x）的定义域，由0≤f（x）=log_0.5（sin2x）＜+∞，能求出f（x）的值域，由f（x）的单调递减区间满足2kπ＜2x≤2kπ+

π

2

，k∈Z，单调递增区间满足2kπ+

π

2

≤2x＜2kπ+π，k∈Z，能求出f（x）的单调区间．
（2）由f(

π

4

)=0，而f(-

π

4

)没有意义，知f（x）是非奇非偶函数由y=sin2x是周期函数，且最小正周期为π，知f（x）是周期函数，且最小正周期为π．

解答：解：∵sin2x＞0，∴2kπ＜2x＜2kπ+π，k∈Z，即kπ＜x＜kπ+

π

2

，k∈Z，
∴f（x）的定义域为{x|kπ＜x＜kπ+

π

2

，k∈Z}．
∵0＜sin2x≤1，
∴0≤f（x）=log_0.5（sin2x）＜+∞，
∴f（x）的值域为[0，+∞）．
∵f（x）的单调递减区间满足2kπ＜2x≤2kπ+

π

2

，k∈Z，∴kπ＜x≤kπ+

π

4

，k∈Z，
故f（x）的单调递减区间为(kπ，kπ+

π

4

]，k∈Z；
∵f（x）的单调递增区间满足2kπ+

π

2

≤2x＜2kπ+π，k∈Z，
∴kπ+

π

4

≤x＜kπ+

π

2

，k∈Z．
故f（x）的单调递增区间为[kπ+

π

4

，kπ+

π

2

)，k∈Z．
（2）因f(

π

4

)=0，而f(-

π

4

)没有意义
故f（x）是非奇非偶函数
由y=sin2x是周期函数，且最小正周期为π，
∴f（x）是周期函数，且最小正周期为π．

点评：本题考查函数的定义域、值域、单调区间、奇偶性和周期性的求法，解题时要认真审题，注意三角函数的性质的合理运用．