Question

如图，在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AA₁＝AD＝1，E为CD的中点．

(1)求证：B₁E⊥AD₁.
(2)在棱AA₁上是否存在一点P，使得DP∥平面B₁AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．
(3)若二面角A－B₁E－A₁的大小为30°，求AB的长．

Answer 1

（1）见解析（2）（3）2

(1)以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．设AB＝a，则A(0，0,0)，D(0,1,0)，D₁(0,1,1)，
E，B₁(a,0,1)，

故＝(0,1,1)，＝，＝(a,0,1)，＝.
∵·＝－×0＋1×1＋(－1)×1＝0，
∴B₁E⊥AD₁.
(2)假设在棱AA₁上存在一点P(0,0，z₀)(0≤z₀≤1)，
使得DP∥平面B₁AE.此时＝(0，－1，z₀)．
又设平面B₁AE的法向量n＝(x，y，z)．
由n⊥，n⊥，得.
取x＝1，得平面B₁AE的一个法向量n＝
要使DP∥平面B₁AE，只要n⊥，有－az₀＝0，
解得z₀＝.
又DP?平面B₁AE，
∴存在点P，满足DP∥平面B₁AE，此时AP＝.
(3)连接A₁D，B₁C，由长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁及AA₁＝AD＝1，得AD₁⊥A₁D.
∵B₁C∥A₁D，
∴AD₁⊥B₁C.
又由(1)知B₁E⊥AD₁，且B₁C∩B₁E＝B₁，
∴AD₁⊥平面DCB₁A₁，
∴是平面A₁B₁E的一个法向量，此时＝(0,1,1)．
设与n所成的角为θ，则
cos θ＝＝.
∵二面角A－B₁E－A₁的大小为30°，
∴|cos θ|＝cos 30°，即＝，
解得a＝2，即AB的长为.2