Question

已知函数f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）若a=1，函数f（x）的图象能否总在直线y=b的下方？说明理由；
（Ⅱ）若函数f（x）在（0，2）上是增函数，求a的取值范围；
（Ⅲ）设x₁，x₂，x₃为方程f（x）=0的三个根，且x₁∈（-1，0），x₂∈（0，1），x₃∈（-∞，-1）∪（1，+∞），求证：a＞1或a＜-1．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a=1代入函数解析式，然后取特殊值x=-1，求得对应点的纵坐标大于b，说明函数f（x）的图象不能总在直线y=b的下方；
（Ⅱ）求出原函数的导函数，解出导函数的零点，然后对a进行分类讨论，找出能使函数f（x）在（0，2）上是增函数a的取值范围．或是求出导函数后，利用分离变量法把a分离出来，把导函数恒大于等于0转化为a恒大于等于一个函数的最大值问题；
（Ⅲ）因为方程f（x）=-x³+ax²+b=0最多只有3个根，由方程f（x）=0在（-1，0）和（0，1）内各有一个根列式f（-1）•f（0）=b（1+a+b）＜0与f（0）•f（1）=b（-1+a+b）＜0，然后分b＞0，b＜0和b=0讨论即可得到a的取值范围．

解答：（Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=-x³+x²+b，
因为f（-1）=b+2＞b，
所以，函数f（x）的图象不能总在直线y=b的下方．
（Ⅱ）解：法一、
由f（x）=-x³+ax²+b，得f^′（x）=-3x²+2ax，
令f^′（x）=-3x²+2ax=0，解得x=0或x=

2

3

a，
①当a＜0时，由f^′（x）＞0，解得

2

3

a＜x＜0，
所以f（x）在(

2

3

a，0)上是增函数，与题意不符，舍去；
②当a=0时，由f^′（x）=-3x²≤0，
所以f（x）在R上是减函数，与题意不符，舍去；
③当a＞0时，由f^′（x）＞0，解得0＜x＜

2

3

a，
所以f（x）在(0，

2

3

a)上是增函数，
又f（x）在（0，2）上是增函数，所以

2

3

a≥2，解得a≥3，
综上，a的取值范围为[3，+∞）．
法二、
由f（x）=-x³+ax²+b，得f^′（x）=-3x²+2ax，
要使函数f（x）在（0，2）上是增函数，
则需f^′（x）=-3x²+2ax≥0对任意x∈（0，2）恒成立，
即2ax≥3x²对任意x∈（0，2）恒成立，
也就是a≥

3

2

x对任意x∈（0，2）恒成立，
因为y=

3

2

x在x∈（0，2）上为增函数，所以a≥

3

2

×2=3．
所以，a的取值范围为[3，+∞）．
（Ⅲ）证明：因为方程f（x）=-x³+ax²+b=0最多只有3个根，
由题意，方程在区间（-1，0）内仅有一根，
所以f（-1）•f（0）=b（1+a+b）＜0，
方程在区间（0，1）内仅有一根，
所以f（0）•f（1）=b（-1+a+b）＜0，
当b＞0时，由b（1+a+b）＜0得，1+a+b＜0，即a＜-b-1，
由b（-1+a+b）＜0得，-1+a+b＜0，即a＜-b+1，
因为-b-1＜-b+1，所以a＜-b-1＜-1，即a＜-1；
当b＜0时，由b（1+a+b）＜0得，1+a+b＜0，即a＞-b-1，
由b（-1+a+b）＜0得，-1+a+b＜0，即a＞-b+1，
因为-b-1＜-b+1，所以a＞-b+1＞1，即a＞1；
当b=0时，因为f（0）=0，所以f（x）=0有一根0，
这与题意不符．
∴a＞1或a＜-1．

点评：本题考查了利用函数的导函数研究函数的单调性，考查了分类讨论得数学思想，训练了利用分离变量求函数的最值，考查了根的存在性及根的个数的判断，在区间（a，b）内，若f（a）•f（b）＜0，函数在区间（a，b）内必有根．此题是中档题．