【题目】已知函数g(x)=ax2﹣2ax+b+1(a>0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.设f(x)= .
(1)求a、b的值;
(2)若不等式f(2x)﹣k2x≥0在x∈[﹣1,1]上有解,求实数k的取值范围.
【答案】
(1)解:函数g(x)=ax2﹣2ax+b+1=a(x﹣1)2+1+b﹣a,
因为a>0,所以g(x)在区间[2,3]上是增函数,故 ,解得
(2)解:由已知可得f(x)=x+ ﹣2,所以,不等式f(2x)﹣k2x≥0可化为 2x+ ﹣2≥k2x,
可化为 1+ ﹣2 ≥k,令t= ,则 k≤t2﹣2t+1.
因 x∈[﹣1,1],故 t∈[ ,2].故k≤t2﹣2t+1在t∈[ ,2]上能成立.
记h(t)=t2﹣2t+1,因为 t∈[ ,2],故 h(t)max =h(2)=1,
所以k的取值范围是(﹣∞,1]
【解析】(1)由函数g(x)=a(x﹣1)2+1+b﹣a,a>0,所以g(x)在区间[2,3]上是增函数,故 ,由此解得a、b的值.(2)不等式可化为 2x+ ﹣2≥k2x , 故有 k≤t2﹣2t+1,t∈[ ,2],求出h(t)=t2﹣2t+1的最大值,从而求得k的取值范围.
【考点精析】通过灵活运用二次函数在闭区间上的最值和函数的零点与方程根的关系,掌握当时,当时,;当时在上递减,当时,;二次函数的零点:(1)△>0,方程 有两不等实根,二次函数的图象与 轴有两个交点,二次函数有两个零点;(2)△=0,方程 有两相等实根(二重根),二次函数的图象与 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点;(3)△<0,方程 无实根,二次函数的图象与 轴无交点,二次函数无零点即可以解答此题.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中,AB⊥AC,AB=AC=2,AA1=4,点D是BC的中点.
(1)求证:A1B∥平面ADC1;
(2)求平面ADC1与ABA1所成二面角的平面角的正弦值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在数列{an}中,a1= ,且前n项的算术平均数等于第n项的2n﹣1倍(n∈N*).
(1)写出此数列的前5项;
(2)归纳猜想{an}的通项公式,并用数学归纳法证明.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)=a3x+1 , g(x)=( )5x﹣2 , 其中a>0,且a≠1.
(1)若0<a<1,求满足f(x)<1的x的取值范围;
(2)求关于x的不等式f(x)≥g(x)的解集.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知f(x)= ,x∈(﹣2,2)
(1)判断f(x)的奇偶性并说明理由;
(2)求证:函数f(x)在(﹣2,2)上是增函数;
(3)若f(2+a)+f(1﹣2a)>0,求实数a的取值范围.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com