Question

下列命题中，错误命题的序号是

（1）（2）（4）

．
（1）已知△ABC中，a＞b?A＞B?sinA＞sinB．
（2）已知△ABC中，a=3，b=5，c=7，S_△ABC=

15 3

4

．
（3）已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+1，则其前5项的和为31．
（4）若数列{a_n}的前n项和为S_n=2a_n-1，则a_n=2ⁿ，n∈N^*．

Answer 1

分析：（1）根据正弦定理进行判断．（2）利用余弦定理求一个夹角，然后利用三角形的面积公式求三角形的面积．
（3）利用递推数列进行判断．（4）利用S_n与a_n的关系求通项公式．

解答：解：（1）在三角形中，根据大边对大角知a＞b?A＞B成立，由正弦定理

a

sin?A

=

b

sin?B

得a＞b?sinA＞sinB，所以（1）正确．
（2）由余弦定理知cos?C=

32+52-72

2×3×5

=-

1

2

，所以sinC=

3

2

，所以三角形的面积为S=

1

2

absin?C=

1

2

×3×5×

3

2

=

15 3

4

，所以（2）正确．
（3）由a₁=1，a_n+1=2a_n+1，得a₂=3，a₃=7，a₄=15，a₅=31，所以前5项和为S=1+3+7+15+31=57，所以（3）错误．
（4）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-1-（2a_n-1-1），即a_n=2a_n-1，所以{a_n}是以公比q=2的等比数列，当n=1时，a₁=2，所以an=2?2n-1=2n，所以（4）正确．
故答案为：（1）（2）（4）

点评：本题主要考查与数列和解三角形有关的命题的真假判断，综合性性较强，涉及的知识点较多．