Question

13．定义在R上的函数f（x）对任意实数a、b都有f（a+b）+f（a-b）=2f（a）•f（b）成立，且f（0）≠0．
（1）求f（0）的值；
（2）试判断f（x）的奇偶性；
（3）若存在常数c＞0使$f（\frac{c}{2}）=0$，试问f（x）是否为周期函数？若是，指出它的一个周期；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）令a=b=0，列出方程解出f（0）；
（2）令a=0，b=x，代入函数性质，结合f（0）=1，得出f（x）和f（-x）的关系，得出结论．
（3）令a=x+$\frac{c}{2}$，b=$\frac{c}{2}$，代入函数性质，结合f（$\frac{c}{2}$）=0可得f（x+c）=-f（x），于是f（2x+c）=-f（x+c）=f（x），得出结论．

解答 解：（1）令a=b=0则f（0）+f（0）=2f（0）•f（0），即f（0）=f²（0）
f（0）≠0，∴f（0）=1．
（2）令a=0，b=x，则f（x）+f（-x）=2f（0）•f（x）
∵f（0）=1，∴f（-x）=f（x）
∴f（x）是R上的偶函数．
（3）令$a=x+\frac{c}{2}，b=\frac{c}{2}$，则$f[{（{x+\frac{c}{2}}）+\frac{c}{2}}]+f[{（{x+\frac{c}{2}}）-\frac{c}{2}}]=2f（{x+\frac{c}{2}}）\cdotf（{\frac{c}{2}}）$
∵$f（{\frac{c}{2}}）=0$，∴f（x+c）+f（x）=0．
∴f（x+c）=-f（x），
∴f（x+2c）=-f（x+c）=-[-f（x）]=f（x）．
∴f（x）是以2c为周期的周期函数．

点评 本题考查了函数求值，函数奇偶性、周期性的判断，合理选择a，b的值是解题关键．