Question

设数列{a_n}为等比数列，a1=C2m+33mAm-21，公比q是(x+

1

4x2

)4的展开式中的第二项（按x的降幂排列）．
（1）确定m的值
（2）用n，x表示通项a_n与前n项和S_n；
（3）记 An=Cn1S1+Cn2S2+…+CnnSn
①证明，当x=1时，An=n×2n-1
②当x≠1时，用n，x表示A_n．

Answer 1

分析：（1）由a₁=

C

3m 2m+3

•

A

1 m-2

可得到关于m的不等式组

2m+3≥3m m-2≥1

，解之即可得m；
（2）结合（1）知a₁=1，可求得公比为x，从而可求得通项a_n与前n项和S_n；
（3）当x=1时，S_n=n，此时A_n=

C

1 n

+2

C

2 n

+3

C

3 n

+…+n

C

n n

，①又A_n=n

C

0 n

+（n-1）

C

1 n

+…+1•

C

n-1 n

 ②，二者相加即可证得结论；
当x≠1时，S_n=

1-xn

1-x

，此时A_n=

1-x

1-x

C

1 n

+

1-x2

1-x

C

2 n

+…+

1-xn

1-x

C

n n

，提取公因式

1

1-x

，再分组求和即可．

解答：（1）由a₁=

C

3m 2m+3

•

A

1 m-2

得

2m+3≥3m m-2≥1

?

m≤3 m≥3

，
∴m=3，
（2）a₁=

C

9 9

•

A

1 1

=1．
又(x+

1

4x2

)4 展开式中第2项T₂=

C

1 4

•x³•（

1

4x2

）=x，即公比为x，
∴a_n=x^n-1，
∴S_n=

n，x=1 1-xn 1-x ，x≠1

；
（2）由S_n表达式引发讨论：
（Ⅰ）当x=1时，S_n=n，此时A_n=

C

1 n

+2

C

2 n

+3

C

3 n

+…+n

C

n n

，①
又A_n=n

C

0 n

+（n-1）

C

1 n

+…+1•

C

n-1 n

 ②
∴①+②得2A_n=n（

C

0 n

+

C

1 n

+…+

C

n n

）=n•2ⁿ，
∴A_n=n•2^n-1．
（Ⅱ）当x≠1时，S_n=

1-xn

1-x

，此时A_n=

1-x

1-x

C

1 n

+

1-x2

1-x

C

2 n

+…+

1-xn

1-x

C

n n

 
=

1

1-x

[（

C

1 n

+

C

2 n

+…+

C

n n

）-（x

C

1 n

+x²

C

2 n

+x³

C

3 n

+…+xⁿ

C

n n

）]
=

1

1-x

{（2ⁿ-1）-[（1+x）ⁿ-1]}
=

1

1-x

[2ⁿ-（1+x）ⁿ]．

点评：本题考查二项式定理的应用，考查等比数列的求和，突出考查分类讨论思想与等价转化思想的综合运用，属于难题．