【题目】如图,几何体中,四边形为菱形,,,面∥面,、、都垂直于面,且,为的中点,为的中点.
(1)求证:为等腰直角三角形;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)详见解析;(2) .
【解析】
试题分析:(1)由已知条件,在直角三角形,DCE中分别求出,DE的长度,由边的关系能够证出△DB1E为等腰直角三角形;(2)取的中点H,因为O,H分别为DB,的中点,所以OH∥BB1,以OA,OB,OH分别为x,y,z轴建立坐标系,求出两个平面和DFE的法向量,根据二面角与其法向量所成角的关系求二面角的余弦值.
试题解析:解:(1)连接,交于,因为四边形为菱形,,所以
因为、都垂直于面,,又面∥面,
所以四边形为平行四边形 ,则 2分
因为、、都垂直于面,则
4分
所以
所以为等腰直角三角形 5分
(2)取的中点,因为分别为的中点,所以∥
以分别为轴建立坐标系,
则
所以 7分
设面的法向量为,
则,即且
令,则 9分
设面的法向量为,
则即且
令,则 11分
则,则二面角的余弦值为 12分
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【题目】已知函数,,现有如下两种图象变换方案:
(方案1):将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的一半,纵坐标不变,再将所得图象向左平移个单位长度;
(方案2):将函数的图象向左平移个单位长度,再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的一半,纵坐标不变.
请你从中选择一种方案,确定在此方案下所得函数的解析式,并解决如下问题:
(1)用“五点作图法”画出函数在的闭区间上的图象(列表并画图);
(2)请你在答题纸相应位置逐一写出函数的①周期性②奇偶性③单调递增区间④单调递减区间.
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【题目】定义区间,,,的长度均为,多个区间并集的长度为各区间长度之和,例如, 的长度. 用表示不超过的最大整数,记,其中.设,,当时,不等式解集区间的长度为,则的值为
A. B. C. D.
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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为、,离心率,点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程;
(2)设过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于、两点,线段的垂直平分线与轴交于点,求点的横坐标的取值范围;
(3)在第(2)问的条件下,求面积的最大值.
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【题目】已知过坐标原点的直线l与圆C:x2+y2﹣8x+12=0相交于不同的两点A,B.
(1)求线段AB的中点P的轨迹M的方程.
(2)是否存在实数k,使得直线l1:y=k(x﹣5)与曲线M有且仅有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.
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【题目】(本小题满分12分)已知椭圆:的焦距为,离心率为,其右焦点为,过点作直线交椭圆于另一点.
(1)若,求外接圆的方程;
(2)若过点的直线与椭圆 相交于两点、,设为上一点,且满足(为坐标原点),当时,求实数的取值范围.
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【题目】两次购买同一种物品,可以用两种不同的策略,第一种是不考虑物品价格的升降,每次购买这种物品的数量一定;第二种是不考虑物品价格的升降,每次购买这种物品所花的钱数一定.哪种购物方式比较经济?你能把所得结论作一些推广吗?
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【题目】已知椭圆经过点,且离心率为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设是椭圆上的点,直线与(为坐标原点)的斜率之积为.若动点满足,试探究是否存在两个定点,使得为定值?若存在,求的坐标;若不存在,请说明理由.
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