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(2009•黄冈模拟)已知A(1,0),B(-2,0),动点M满足∠MBA=2∠MAB(∠MAB≠0).
(1)求动点M的轨迹E的方程;
(2)若直线l:y=
13
x+b
,且轨迹E上存在不同两点C、D关于直线l对称.
①求实数b的取值范围;
②是否可能有A、B、C、D四点共圆?若可能,求实数b的值;若不可能,请说明理由.
分析:(1)如何体现动点M满足的条件∠MBA=2∠MAB是解决本题的关键.用动点M的坐标体现∠MBA=2∠MAB的最佳载体是直线MA、MB的斜率.
(2)先设C(x1,y1),D(x2,y2),CD的中点(x0,y0)(x1,x2,x0<-1).由点差法有y0=-x0.又y0=
1
3
x0+b
;所以x0=-
3
4
b
y0=
3
4
b
.又直线CD的方程为y=-3x-
3
2
b
.将直线的方程代入(1)的方程,消去y得到关于x的一元二次方程,再结合根系数的关系利用到角公式即可求得b值,从而解决问题.
解答:解:(1)设动点M的坐标为(x,y),则tan∠MBA=
|y|
x+2
tan∠MAB=
|y|
1-x

由∠MBA=2∠MAB(∠MAB≠0),得
|y|
x+2
=
2
|y|
1-x
1-(
|y|
1-x
)
2

化简得3x2-y2=3,
∠MBA=
π
2
时也满足.
显然,动点M在线段AB的中垂线的左侧,且∠MAB≠0,
故轨迹E的方程为 3x2-y2=3(x<-1).
(2)设C(x1,y1),D(x2,y2),CD的中点(x0,y0)(x1,x2,x0<-1).
由点差法有 
y1-y2
x1-x2
y1+y2
x1+x2
=3
,即y0=-x0
y0=
1
3
x0+b
;所以x0=-
3
4
b
y0=
3
4
b

①由3(-
3
4
b)2-(
3
4
b)2>3
x0=-
3
4
b<-1
得,b>
2
3
6

②直线CD的方程为y-
3
4
b=-3(x-
3
4
b)
,即y=-3x-
3
2
b
.(b≠2)
上式代入3x2-y2=3得,8x2+12bx+3b2+4=0,
所以△=16(3b2-8),x1+x2=-
3
2
b
x1x2=
3b2+4
8
x2-x1=
3b2-8
2

若A、B、C、D四点共圆,则∠CAD=60°,由到角公式可得 
y2(x1-1)-y1(x2-1)
(x1-1)(x2-1)+y1y2
=
3

即 
(
3
2
b+3)(x2-x1)
10x1x2+(
9
2
b-1)(x1+x2)+
9
4
b2+1
=
3
,即 
3b2-8
=
3
(4-b)
;解得b=
7
3

故可能有A、B、C、D四点共圆,此时b=
7
3
点评:求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法,本题主要用直接法,直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系,直接坐标化,列出等式化简即得动点轨迹方程.
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