Question

f（x）=ax³+bx²+cx+d，定义y=f″（x）是函数y=f′（x）的导函数．若方程f″（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学发现：任何一个三次函数既有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心．根据这一发现，对于函数g（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x+

1

12

，则g（

1

2012

）+g（

2

2012

）+g（

3

2012

）+…+g（

2011

2012

）的值为

6033

2

．

Answer 1

分析：先求g′（x）的解析式，再求g″（x），由g″（x）=0 求得拐点的横坐标，代入函数解析式求拐点的纵坐标，然后利用中心对称知识，把要求的g（

1

2012

）+g（

2

2012

）+g（

3

2012

）+…+g（

2011

2012

）的值转化为对称中心点的函数值．

解答：解：依题意，得：g′（x）=x²-x+3，∴g″（x）=2x-1．
由g″（x）=0，即2x-1=0，得：x=

1

2

，
把x=

1

2

代入函数g（x）的解析式得：g（

1

2

）=

3

2

，
∴函数g（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x+

1

12

对称中心为（

1

2

，

3

2

）．
则g(

1

2012

)+g(

2011

2012

)=g(

2

2012

)+g(

2010

2012

)=…=2g(

1006

2012

)=2g(

1

2

)．
所以，g（

1

2012

）+g（

2

2012

）+g（

3

2012

）+…+g（

2011

2012

）的值为2011g(

1

2

)=2011×

3

2

=

6033

2

．
故答案为

6033

2

．

点评：本题考查一阶导数、二阶导数的求法，函数的拐点的定义以及函数图象关于某点对称的条件，解答此题的关键是能够运用对称知识把要求解的问题转化为中心对称点的函数值问题，此题是中档题．