Question

已知四边形ABCD为菱形，边长为1，∠BAD=120°，

AE

=

AD

+t

AB

（其中t∈R且0＜t＜1），则当|

AE

|最小时，

| DE |

| EC |

=

 

．

Answer 1

考点：向量在几何中的应用

专题：平面向量及应用

分析：先画出图形，利用向量加法的三角形法则结合菱形的性质，将

AE

=

AD

+t

AB

（其中t∈R且0＜t＜1）转化为

AE

=

AD

+t

DC

（其中其中t∈R且0＜t＜1），问题转化为点A到边DC的距离最小时，DE：EC为多少，结合三角形知识，问题容易解决．

解答： 解：在菱形ABCD中，∵

AB

=

DC

，
∴

AE

=

AD

+t

AB

（其中t∈R且0＜t＜1），
即为

AE

=

AD

+t

DC

（0＜t＜1），
由向量加法的三角形法则可知E点落在线段CD上，
则当AE⊥CD时，|

AE

|最小，
又∵四边形ABCD为菱形，边长为1，∠BAD=120°，
∴△ADC是边长为1的等边三角形，
∴E为△ADC的边DC的中点，
∴

| DE |

| EC |

=1．
故答案为：1

点评：这个题重点考查向量加法的几何意义，只要正确画出图形，利用菱形的性质将所求的向量合理转化，最后解一个等边三角形．此题应该不难．