Question

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（3，0），B（0，1），C是以O为圆心的单位圆上一点，且∠COA=

3

4

π．
（Ⅰ）求

AB

+

OC

的坐标；
（Ⅱ）若直线OC与直线AB交于点D，且

AD

=λ

DB

，求实数λ的值．

Answer 1

分析：（I）根据三角函数的定义和单位圆，算出C（-

2

2

，

2

2

），由A、B的坐标得到

AB

=（-3，1），由此即可得到向量

AB

+

OC

的坐标；
（II）由

AD

=λ

DB

算出D的坐标为（

3

1+λ

，

λ

1+λ

），代入直线OC方程y=-x得到关于λ的方程，解之即可得到λ的值．

解答：解：（I）∵C是以O为圆心的单位圆上一点，
∴设C（cosθ，sinθ），由∠COA=

3

4

π得cosθ=-

2

2

，sinθ=

2

2

由此可得C（-

2

2

，

2

2

），
∵A（3，0），B（0，1），
∴

AB

=

OB

-

OA

=（-3，1），
可得

AB

+

OC

=（-3，1）+（-

2

2

，

2

2

）=（-3-

2

2

，1+

2

2

）；
（II）由（I）得直线OC的方程为y=-x
∵A（3，0），B（0，1），

AD

=λ

DB

，
∴D的坐标为（

3

1+λ

，

λ

1+λ

），
代入OC方程得

λ

1+λ

=-

3

1+λ

，得λ=-3

点评：本题给出点A、B、C的坐标，求向量

AB

+

OC

的坐标，并求满足定比分点的λ值．着重考查了向量的坐标运算、三角函数的定义和向量线性运算等知识，属于中档题．