Question

一袋子中有大小相同的2个红球和3个黑球，从袋子里随机取球，取到每个球的可能性是相同的，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分．
（Ⅰ）若从袋子里一次随机取出3个球，求得4分的概率；
（Ⅱ）若从袋子里每次摸出一个球，看清颜色后放回，连续摸3次，求得分ξ的概率分布列及数学期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数C₅³，从袋子里一次随机取出3个球得4分表示取出的球中有1个红球和2个黑球的情况，满足条件的事件数C₂¹C₃²，根据公式得到结果．
（Ⅱ）由题意，ξ的可能取值为3.4.5.6．因为是有放回地取球，所以每次取到红球的概率为

2

5

，结合变量对应的事件写出分布列和期望．

解答：解：（Ⅰ）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件数C₅³，
设“一次取出3个球得4分”的事件记为A，
它表示取出的球中有1个红球和2个黑球的情况，
满足条件的事件数C₂¹C₃²
则P(A)=

C 1 2 C 2 3

C 3 5

=

3

5

（Ⅱ）由题意，ξ的可能取值为3.4.5.6．因为是有放回地取球，
所以每次取到红球的概率为

2

5

，取到黑球的概率为

3

5

.
P(ξ=3)=

C

3 3

(

3

5

)3=

27

125

P(ξ=4)=

C

2 3

(

3

5

)2•

2

5

=

54

125

P(ξ=5)=

C

1 3

(

3

5

)•(

2

5

)2=

36

125

P(ξ=6)=

C

0 3

(

2

5

)3=

8

125

∴ξ的分布列为

数学期望：Eξ=3×

27

125

+4×

54

125

+5×

36

125

+6×

8

125

=

21

5

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，这种类型是近几年高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的一道问题．