Question

如图，有一块抛物线形状的钢板，计划将此钢板切割成等腰梯形ABCD的形状，使得A，B，C，D都落在抛物线上，点A，B关于抛物线的轴对称，且AB＝2，抛物线的顶点到底边的距离是2，记CD＝2t，梯形面积为S．

(1)以抛物线的顶点为坐标原点，其对称轴为y轴建立坐标系，使抛物线开口向下，求出该抛物线的方程；

(2)求面积S关于t的函数解析式，并写出其定义域；

(3)求面积S的最大值．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(1)以抛物线的顶点为坐标原点，其对称轴为轴建立坐标系，

　　设抛物线方程为：，

　　由图得抛物线过点，代入求得，

　　所以外轮廓线所在抛物线的方程：　　5分

　　(2)设，，代入抛物线方程得，故梯形的高为　＝　　9分

　　又由解得

　　其定义域为　　10分

　　(3)，

　　令，解得　　12分

　　当时函数在该区间递增，

　　当时函数在该区间递减　　14分

　　所以当时函数取得最大值，　　16分