Question

5．已知函数$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx-{cos^2}x-\frac{1}{2}$．
（1）求函数f（x）的最小正周期和对称轴；
（2）将函数f（x）的图象各点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，然后向左平移$\frac{π}{3}$个单位，得函数g（x）的图象．若a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，a+c=6，且g（B）=0，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）化函数f（x）为正弦型函数，根据正弦函数的图象与性质即可得出f（x）的对称轴与最小正周期；
（2）根据三角函数图象平移法则，得出函数g（x）的解析式，利用g（B）=0求出B的值，
再利用余弦定理和基本不等式求出b的取值范围．

解答 解：（1）函数f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x-$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$（1+cos2x）-$\frac{1}{2}$
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1，
令2x-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
所以函数f（x）的对称轴为$x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{3}$，k∈Z，周期为π；
（2）函数f（x）的图象各点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，
得函数y=sin（x-$\frac{π}{6}$）-1的图象，
再向左平移$\frac{π}{3}$个单位，得函数y=sin（x+$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{6}$）-1的图象，
所以函数g（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$）-1；
又△ABC中，a+c=6，g（B）=0，
所以sin（B+$\frac{π}{6}$）-1=0，
所以B+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，则B=$\frac{π}{3}$；
由余弦定理可知，
b²=a²+c²-2ac•cos$\frac{π}{3}$=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac≥36-3•${（\frac{a+c}{2}）}^{2}$=9，
当且仅当a=c=3时取“=”，所以b≥3；
又b＜a+c=6，所以b的取值范围是[3，6）．

点评 本题考查了三角恒等变换以及三角函数图象平移、余弦定理和基本不等式的应用问题，是综合性题目．