Question

已知圆心为C的圆经过点A（4，1）和B（0，-3），且圆心C在直线l：2x-y-5=0上．
（Ⅰ）求圆C的标准方程；
（Ⅱ）若过点P（4，-8）直线l与圆C交点M、N两点，且|MN|=4，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设圆心坐标为C（a，2a-5），利用圆心为C的圆经过点A（4，1）和B（0，-3），建立方程，求出圆心坐标与半径，即可求圆C的标准方程；
（Ⅱ）直线l的斜率不存在时，直线方程为x=4，满足题意；直线l的斜率存在时，设直线方程为y+8=k（x-4），利用圆心到直线的距离公式建立方程，即可求得结论．

解答：解：（Ⅰ）设圆心坐标为C（a，2a-5），则
∵圆心为C的圆经过点A（4，1）和B（0，-3），
∴（a-4）²+（2a-5-1）²=a²+（2a-5+3）²，
∴a=2，
∴圆心坐标为（2，-1），半径为2

2

，
∴圆C的标准方程为（x-2）²+（y+1）²=8；
（Ⅱ）直线l的斜率不存在时，直线方程为x=4，代入圆的方程可得y=1或-3，此时|MN|=4，
直线l的斜率存在时，设直线方程为y+8=k（x-4），即kx-y-4k-8=0，
∵|MN|=4，
∴圆心到直线的距离为

8-4

=

|2k+1-4k-8|

k2+1

，
∴k=-

45

28

，
∴直线方程为45x+28y+44=0．
综上，直线l的方程为45x+28y+44=0或x=4．

点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．