Question

【题目】已知函数．

（1）当为何值时， 轴为曲线的切线；

（2）用表示中的最小值，设函数，讨论零点的个数．

Answer 1

【答案】（1）当时， 轴是曲线的切线（2）当或时， 有一个零点；当或时， 有两个零点；当时， 有三个零点．

【解析】【试题分析】（1）先对函数求导，再运用导数的几何意义建立方程组进行分析求解；（2）先确定函数的解析式，再运用分类整合思想分类讨论函数的零点的个数问题以及对应的参数的范围：

（1）设曲线与轴相切于点，则，即，

解得： ，

因此，当时， 轴是曲线的切线；

（2）当时， ，从而，

∴在无零点，

当时，若，则， ，故是的零点； 若，则， ，故不是的零点，当时， ，所以只需考虑在的零点个数，

（Ⅰ）若或，则在无零点，故在单调，而，

所以当时， 在有一个零点； 当时， 在无零点；

（Ⅱ）若，则在单调递减，在单调递增，

故当时， 取的最小值，最小值为．

若，即， 在无零点；

若，即，则在有唯一零点；

③若，即，由于，所以当时， 在有两个零点；当时， 在有一个零点．

综上，当或时， 有一个零点；当或时， 有两个零点；

当时， 有三个零点．