Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c的图象如图，直线y=0在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域（阴影）面积为

27

4

．
（1）求f（x）的解析式
（2）若常数m＞0，求函数f（x）在区间[-m，m]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据图象所过点（0，0），及y=0与在原点处与函数图象相切可求b，c，由题目中给出了区域的面积，我们可以从定积分着手，求出函数以及函数与x轴的交点，建立方程可求解参数．
（2）利用导数求出函数的极值，求出函数的零点，分0＜m≤3，m＞3两种情况进行讨论，借助图象可求得函数的最大值；

解答：解：（1）由图象知，f（0）=0，得c=0，
f′（x）=3x²+2ax+b，由f′（0）=0，得b=0，
∴f（x）=x³+ax²=x²（x+a），
令f（x）=0，可得x=0或者x=-a，
可以得到图象与x轴交点为（0，0），（-a，0），
故对-f（x）从0到-a求定积分即为所求面积，即

∫

-a 0

[-f（x）]dx=

27

4

，
∫₀^-a（-x³-ax²）dx=

27

4

，解得a=-3．
∴f（x）=x³-3x²；
（2）由（1）知f'（x）=3x²-6x=3x（x-2）．则x，f'（x），f（x）的取值变化情况如下表：

x	（-∞，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	极大值f（0）=0	单调递减	极小值f（2）=-4	单调递增

又f（3）=0，
①当0＜m≤3时，f（x）_max=f（0）=0；
②当m＞3时，f(x)max=f(m)=m3-3m2．
综上可知f(x)max=

0 ，  0＜m≤3 m3-3m2 ，m＞3

．

点评：将函数图象、函数的导数以及定积分的计算有机结合起来综合考查，考查了学生的综合能力．