【题目】在平面直角坐标系中,已知点,的坐标分别为,.直线,相交于点,且它们的斜率之积是.记点的轨迹为.
(Ⅰ)求的方程.
(Ⅱ)已知直线,分别交直线于点,,轨迹在点处的切线与线段交于点,求的值.
【答案】(1)(2)1
【解析】
试题分析:(I)设出坐标为,求出直线的斜率和直线的斜率,利用斜率成绩为,整理即可得出曲线的方程;(II)设出坐标,得出,的方程,进一步求出点的纵坐标,写出椭圆在的切线方程,由判别式等于得到过的斜率(用的坐标表示),代入切线方程,求得点的纵坐标,设,转化为坐标关键,即可求出,得出的值.
试题解析:解法一:(Ⅰ)设点坐标为,则直线的斜率();直线的斜率().
由已知有(),
化简得点的轨迹的方程为().
(Ⅱ)设(),则.
直线的方程为,令,得点纵坐标为;
直线的方程为,令,得点纵坐标为;
设在点处的切线方程为,
由得.
由,得,
整理得.
将代入上式并整理得,解得,
所以切线方程为.
令得,点纵坐标为.
设,所以,所以
所以.
将代入上式,,解得,即.
解法二:(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)设(),则.
直线的方程为,令,得点纵坐标为;
直线的方程为,令,得点纵坐标为;
设在点处的切线方程为,
由得.
由,得,
整理得.
将代入上式并整理得,解得,
所以切线方程为.
令得,点纵坐标为.
所以,
所以为线段的中点,即.
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【题目】如图, 直线与抛物线交于两点, 线段的垂直平分线与直线交于点.
(1)求点的坐标;
(2)当P为抛物线上位于线段下方(含)的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值.
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【题目】如图,已知梯形中,,,,四边形为矩形,,平面平面.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求平面与平面所成锐二面角的余弦值;
(Ⅲ)在线段上是否存在点,使得直线与平面所成角的正弦值为,若存在,求出线段的长;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin (2x+),则下面结论正确的是( )
A. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2
B. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2
C. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2
D. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2
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【题目】如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,∠DPC=30°,AF⊥PC于点F,FE∥CD,交PD于点E.
(1)证明:CF⊥平面ADF;
(2)求二面角DAFE的余弦值.
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【题目】某次文艺晚会上共演出7个节目,其中2个歌曲,3个舞蹈,2个曲艺节目,求分别满足下列条件的节自编排方法有多少种?(用数字作答)
(1)一个歌曲节目开头,另个歌曲节目放在最后压台;
(2)2个歌曲节目相邻且2个曲艺节目不相邻.
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【题目】用0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的自然数.
(1)在组成的五位数中,所有奇数的个数有多少?
(2)在组成的五位数中,数字1和3相邻的个数有多少?
(3)在组成的五位数中,若从小到大排列,30124排第几个?
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