Question

已知函数f（x）=（t为常数）．
（1）当t=1时，在图中的直角坐标系内作出函数y=f（x）的大致图象，并指出该函数所具备的基本性质中的两个（只需写两个）．
（2）设a_n=f（n）（n∈N^*），当t＞10，且t∉N^*时，试判断数列{a_n}的单调性并由此写出该数列中最大项和最小项（可用[t]来表示不超过t的最大整数）．
（3）利用函数y=f（x）构造一个数列{x_n}，方法如下：对于给定的定义域中的x₁，令x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，x_n=f（x_n-1）（n≥2，n∈N^*），…在上述构造过程中，若x_i（i∈N^*）在定义域中，则构造数列的过程继续下去；若x_i不在定义域中，则构造数列的过程停止．若可用上述方法构造出一个常数列{x_n}，求t的取值范围．

Answer 1

解：（1）当t=1时，f（x）==-1+．
图象如图（2分）
基本性质：（每个2分）
奇偶性：既非奇函数又非偶函数；
单调性：在（-∞，1）和（1，+∞）上分别递增；
零点：x=0；
最值：无最大、小值．（6分）
（2）a_n==-1+，
当1≤n≤[t]，n∈N^*时，数列单调递增，且此时a_n均大于-1，
当n≥[t]+1，n∈N^*时，数列单调递增，且此时a_n均小于-1，（8分）
因此，数列中的最大项为a_[t}=，（10分）
最小项为a_[t}+1=．（12分）
（3）根据题意，只需当x≠t时，方程f（x）=x有解，
亦即方程x²+（1-t）x+1-t=0有不等于t的解，（14分）
将x=t代入方程左边，得左边为1≠0，故方程不可能有x=t的解．（16分）
由△=（1-t）²-4（1-t）≥0，解得t≤-3或t≥1，
即实数t的取值范围是（-∞，-3]∪[1，+∞）．（18分）
分析：（1）当t=1时，f（x）==-1+，画出函数的图象，利用图象可得函数的性质；
（2）a_n==-1+，确定1≤n≤[t]，n∈N^*时，数列单调递增，且此时a_n均大于-1；n≥[t]+1，n∈N^*时，数列单调递增，且此时a_n均小于-1，由此可得结论
（3）只需当x≠t时，方程f（x）=x有解，亦即方程x²+（1-t）x+1-t=0有不等于t的解，由△≥0，可得实数t的取值范围．
点评：本题考查函数的图象与性质，考查函数的单调性，考查数列与函数的关系，考查方程解的研究，确定函数的单调性是关键．