分析 先化简,再求导,得到函数f(x)的单调性,即可求出最值.
解答 解:f(x)=$\frac{{x}^{2}+2x+3}{{x}^{2}+x+2}$=$\frac{{x}^{2}+x+2+x+1}{{x}^{2}+x+2}$=1+$\frac{x+1}{{x}^{2}+x+2}$,
∴f′(x)=$\frac{{x}^{2}+x+2-(x+1)(2x+1)}{({x}^{2}+x+2)^{2}}$=$\frac{-{x}^{2}-2x+1}{({x}^{2}+x+2)^{2}}$,
令f′(x)=0,解得x=$\sqrt{2}$-1,
当f′(x)>0时,即x∈[0,$\sqrt{2}$-1),函数单调递增,
当f′(x)<0时,即x∈[$\sqrt{2}$-1,+∞),函数单调递减,
∴f(x)max=f($\sqrt{2}$-1)=1+$\frac{\sqrt{2}-1+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-1+1)+2}$=1+$\frac{2\sqrt{2}+1}{6}$=$\frac{2\sqrt{2}+7}{6}$
点评 本题考查了利用导数和函数最值得关系,关键是判断函数的单调性,属于中档题.
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A. | (x+2x)|${\;}_{1}^{2}$ | B. | (x2+2xln2)|${\;}_{1}^{2}$ | ||
C. | ($\frac{{x}^{2}}{2}$+2x)|${\;}_{1}^{2}$ | D. | ($\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{2}^{x}}{ln2}$)|${\;}_{1}^{2}$ |
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