Question

【题目】如图所示，平面ABC⊥平面BCDE，BC∥DE， ，BE=CD=2，AB⊥BC，M，N分别为DE，AD中点．

（1）证明：平面MNC⊥平面BCDE；
（2）若EC⊥CD，点P为棱AD的三等分点（近A），平面PMC与平面ABC所成锐二面角的余弦值为 ，求棱AB的长度．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连结BM，ON，

由题意四边形BMDC是菱形，∴O是BD中点，

∵N是AD中点，∴ON∥AB，

∵AB⊥BC，平面ABC⊥平面BCDE，∴AB⊥平面BCDE，

∴ON⊥平面BCDE，

∵ON平面MNC，∴平面MNC⊥平面BCDE

（2）解：以C为原点，CE为x轴，CD为y轴，过C作平面BCDE的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，

设A（ ，﹣1，t），（t＞0）由题意D（0，2，0），P（ ，0， ），E（2 ，0，0），

D（0，2，0），M（ ），B（ ，0），C（0，0，0），

=（ ，0， ）， =（ ）， =（ ，0）， =（ ），

设平面PMC的法向量 =（x，y，z），

则 ，取x= ，得 =（ ，﹣3，﹣ ），

设平面ABC的法向量 =（a，b，c），

则 ，取a= ，得 =（ ，0），

∵平面PMC与平面ABC所成锐二面角的余弦值为 ，

∴|cos＜ ＞|= = = ，解得t=3．

∴棱AB的长度为3．

【解析】（1）连结BM，ON，推导出ON∥AB，AB⊥平面BCDE，从而ON⊥平面BCDE，由此能证明平面MNC⊥平面BCDE．（2）以C为原点，CE为x轴，CD为y轴，过C作平面BCDE的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出棱AB的长度．
【考点精析】解答此题的关键在于理解平面与平面垂直的判定的相关知识，掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．