Question

设关于x的不等式x（x-a-1）＜0（a∈R）的解集为M，不等式x²-2x-3≤0的解集为N．
（Ⅰ）当a=1时，求集合M；
（Ⅱ）若M⊆N，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）当a=1时，由已知得x（x-2）＜0．
解得0＜x＜2．
所以M={x|0＜x＜2}．…（3分）
（Ⅱ） 由已知得N={x|-1≤x≤3}．…（5分）
①当a＜-1时，因为a+1＜0，所以M={x|a+1＜x＜0}．
因为M⊆N，所以-1≤a+1＜0，解得-2≤a＜-1；…（8分）
②若a=-1时，M=∅，显然有M⊆N，所以a=-1成立；…（10分）
③若a＞-1时，因为a+1＞0，所以M={x|0＜x＜a+1}．
又N={x|-1≤x≤3}，因为M⊆N，所以0＜a+1≤3，解得-1＜a≤2．…（12分）
综上所述，a的取值范围是[-2，2]．…（13分）
分析：（Ⅰ）当a=1时，由已知得一元二次不等式x（x-2）＜0，解之即可得集合M；
（Ⅱ）由已知得N={x|-1≤x≤3}．下面对字母a进行分类讨论：①当a＜-1时，②若a=-1时，③若a＞-1时，分别表示出集合M，又N={x|-1≤x≤3}，利用M⊆N，即可求得a的取值范围．
点评：本小题主要考查一元二次不等式的解法、集合之间的包含关系、集合关系中的参数取值问题等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论思想．属于基础题．