Question

（本小题满分14分）

已知函数

（Ⅰ）求f(x)在［-1，e］（e为自然对数的底数）上的最大值；

（Ⅱ）对任意给定的正实数a，曲线y= f(x)上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？

 

 

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）∵e=   ∴c= a      

∴b²=a²-c²= a²

故所求椭圆为：………………………………（1分）

又椭圆过点（）   ∴    ∴a² =4.   b² =1   ∴（3分）

(Ⅱ)设P（x₁,y₁）, Q（x₂,y₂）,PQ的中点为（x₀,y₀）

将直线y=kx+m与

联立得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0

   ①

又x₀=……………………（5分）

又点［-1，0）不在椭圆OE上，

依题意有

整理得3km=4k²+1   ②……………………………………………………（7分）

由①②可得k²＞，∵m＞0, ∴k＞0,∴k＞……………………（8分）

设O到直线l的距离为d，则

S_△OPQ =

=……………………………（10分）

当的面积取最大值1，此时k= 

∴直线方程为y= ……………………………………（12分）

 

【解析】略