Question

已知函数f(x)=

1

3

x3-ax2+10x(x∈R)．
（1）若a=3，点P为曲线y=f（x）上的一个动点，求以点P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程；
（2）若函数y=f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，试求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设出切线的斜率为k，把a=3代入f（x）确定出解析式，根据f（x）的解析式求出导函数，根据二次函数求最值的方法得到导函数的最小值即为斜率k的最小值，然后把x=3代入f（x）中求出f（3）即为切点的纵坐标，得到切点坐标，根据切点坐标和斜率k的最小值写出切线方程即可；
（2）求出f（x）的导函数，由函数在x大于0时为增函数，得到对于x大于0时，导函数值恒大于等于0，令导函数大于等于0，解出a小于等于一个关系式，利用基本不等式求出这个关系式的最小值，即可得到a的取值范围．

解答：解：（1）设切线的斜率为k，
则f'（x）=x²-6x+10=（x-3）²+1，（2分）
显然当x=3时切线斜率取最小值1，
又f（3）=12，（4分）
∴所求切线方程为y-12=x-3，即x-y+9=0．（6分）
（2）f'（x）=x²-2ax+10．（8分）
∵y=f（x）在x∈（0，+∞）为单调递增函数
即对任意的x∈（0，+∞），恒有f'（x）≥0，（10分）
即f'（x）=x²-2ax+10≥0．
∴a≤

x2+10

2x

=

x

2

+

5

x

，（12分）
而

x

2

+

5

x

≥

10

，当且仅当x=

10

时，等号成立，
∴a≤

10

．（14分）

点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，掌握不等式恒成立时满足的条件，掌握函数的单调性与导数的关系，会利用基本不等式求函数的最小值，是一道中档题．