Question

已知对任意x．y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）-t（t为常数）并且当x＞0时，f（x）＜t
（1）求证：f（x）是R上的减函数；
（2）若f（4）=-t-4，解关于m的不等式f（m²-m）+2＞0．

Answer 1

解：（1）证明：设x₁＜x_2则
f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）-t-f（x₁）=f（x₂-x₁）-t
∵x₂-x₁＞0
∴f（x₂-x₁）＜t
∴f（x₂）＜f（x₁）
∴f（x）是R上的减函数
（2）f（4）=f（2）+f（2）-t=-4-t
∴f（2）=-2
由f（m²-m）＞-2=f（2）
得m²-m＜2
解之得：原不等式解集为{m|-1＜m＜2}
分析：（1）设出两个自变量，将一个自变量用另一个自变量表示，利用已知条件，比较出两个函数值的大小，利用函数单调性的定义得证．
（2）将自变量4用2+2表示，利用已知条件求出f（2）值，将不等式中的-2用f（2）代替，利用函数的单调性将不等式中的法则脱去，解二次不等式求出m的范围．
点评：本题考查证明抽象不等式的单调性唯一用的方法是单调性的定义；利用单调性解抽象不等式，先想法将不等式变为
f（m）＞f（n）形式．