Question

1．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知（a₄-1）³+2016（a₄-1）=1，（a₂₀₁₃-1）³+2016（a₂₀₁₃-1）=-1，则下列结论正确的是（　　）

• A． S₂₀₁₆=-2016，a₂₀₁₃＞a₄
• B． S₂₀₁₆=2016，a₂₀₁₃＞a₄
• C． S₂₀₁₆=-2016，a₂₀₁₃＜a₄
• D． S₂₀₁₆=2016，a₂₀₁₃＜a₄

Answer 1

分析 y由a₄-1）³+2016（a₄-1）=1，（a₂₀₁₃-1）³+2016（a₂₀₁₃-1）=-1，设a₄-1=m，a₂₀₁₃-1=n．即m³+2016m+n³+2016n=0，化为（m+n）（m²+n²-mn+2016）=0，可得m+n=0．即a₄+a₂₀₁₃=2．再利用等差数列的性质与前n项和公式即可得出．

解答 解：∵（a₄-1）³+2016（a₄-1）=1，（a₂₀₁₃-1）³+2016（a₂₀₁₃-1）=-1，
∴（a₄-1）³+2016（a₄-1）+（a₂₀₁₃-1）³+2016（a₂₀₁₃-1）=0，
设a₄-1=m，a₂₀₁₃-1=n．
则m³+2016m+n³+2016n=0，
化为（m+n）（m²+n²-mn+2016）=0，
∵m²+n²-mn+2016＞0，
∴m+n=a₄-1+a₂₀₁₃-1=0．
∴a₄+a₂₀₁₃=2．
∴S₂₀₁₆=$\frac{2016（{a}_{1}+{a}_{2016}）}{2}$=$\frac{2016（{a}_{4}+{a}_{2013}）}{2}$=2016．
又a₄-1＞0，a₂₀₁₃-1＜0．
∴a₄＞1＞a₂₀₁₃，
故选：D．

点评 本题考查了等差数列的性质与前n项和公式、乘法公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．