Question

如图，多面体ABCDS中面ABCD为矩形，SD⊥AD，且SD⊥AB，AD=a（a＞0），AB=2AD，SD=

3

AD，E为CD四等分点（紧靠D点）．
（I）求证：AE与⊥平面SBD
（II）求二面角A-SB-D的余弦值．

Answer 1

分析：（I）直接根据条件得到SD⊥平面ABCD，推出SD⊥AE；在结合△ADE∽△ABD得到AE⊥BD即可证明结论；
（II）先建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，进而求出两个半平面的法向量，再代入向量的夹角计算公式即可．

解答：解：（I）∵SD⊥AD，SD⊥AB
∴SD⊥平面ABCD
∴SD⊥AE                               …（2分）
又△ADE∽△ABD，
∴AE⊥BD
∴AE⊥平面SBD                             …（5分）
（II）如图建立空间直角坐标系
S（

3

a，0，0），A（0，a，0），B（0，a，2A），C（0，0，2a），D（0，0，0）．
∴

DS

=（

3

a，0，0），

DB

=（0，a，2a）
设面SBD的一个法向量为

n

=（x，y，z）
∴

n • DS =0 n • DB =0

?

3 ax=0 ay+2az=0

⇒

n

=（0，2，-1）…（9分）
又∵

AB

=（0，0，2a），

SA

=（-

3

a，a，0）
设面SAB的一个法向量为

m

=（x，y，z）．
∴

m • AB =0 m • SA =0

?

2az=0 - 3 ax+ay=0

⇒

m

=（1，

3

，0）．
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

0×1+(-2)× 3 +1×0

5 × 2

=

0×1+2× 3 +(-1)×0

5 × 2

=

15

5

，
所以所求的二面角的余弦为

15

5

…（14分）

点评：本题主要考察用空间向量求平面间的夹角．解决问题的关键在于先建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，进而求出两个半平面的法向量．