Question

已知点P是椭圆

x2

16

+

y2

7

=1上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，

|OP|

|OM|

=λ．求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设M（x，y），根据条件列出关于λ的方程（16λ²-9）x²+16λ²y²=448，然后再分类讨论，即可得出结论．

解答： 解：设M（x，y），其中x∈[-4，4]．
由已知

|OP|

|OM|

=λ及点P在椭圆C上，可得

9x2+112

16(x2+y2)

=λ²，
整理得（16λ²-9）x²+16λ²y²=112，其中x∈[-4，4]．
①λ=

3

4

时，化简得9y²=112．
所以点M的轨迹方程为y=±

4 7

3

（-4≤x≤4），轨迹是两条平行于x轴的线段．
②λ≠

3

4

时，方程变形为

x2

112 16λ2-9

+

y2

112 16λ2

=1，其中x∈[-4，4]；
当0＜λ＜

3

4

时，点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足-4≤x≤4的部分；
当

3

4

＜λ＜1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足-4≤x≤4的部分；
当λ≥1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆．

点评：本题主要考查圆锥曲线的定义和性质及其方程．考查分类讨论思想，是中档题．