Question

已知椭圆E的方程为2x²+y²=2，过椭圆E的一个焦点的直线l交椭圆于A、B两点．
（1）求椭圆E的长轴和短轴的长，离心率，焦点和顶点的坐标；
（2）求△ABO（O为原点）的面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）将椭圆E的方程化为标准方程：x2+

y2

2

=1，于是a=

2

，b=1，c=

a2-b2

=1，由此能够求出椭圆E的长轴和短轴的长，离心率，焦点和顶点的坐标．
（2）依题意，设直线l过F₂（0，1）与椭圆E的交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），S△ABO=

1

2

|OF|•|x1-x2|=

1

2

(x1+x2)2-4x1x2

．根据题意，直线l的方程可设为y=kx+1，将y=kx+1代入2x²+y²=2，得（k²+2）x²+2kx-1=0．再由韦达定理求△ABO的面积的最大值．

解答：解：（1）将椭圆E的方程化为标准方程：x2+

y2

2

=1，（1分）
于是a=

2

，b=1，c=

a2-b2

=1，
因此，椭圆E的长轴长为2a=2

2

，短轴长为2b=2，离心率e=

c

a

=

2

2

，两个焦点坐标分别是F₁（0，-1）、F₂（0，1），四个顶点的坐标分别是A1(0，-

2

)，A2(0，

2

)，A₃（-1，0）和A₄（1，0）．（6分）
（2）依题意，不妨设直线l过F₂（0，1）与椭圆E的交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则S△ABO=

1

2

|OF|•|x1-x2|=

1

2

(x1+x2)2-4x1x2

．（8分）
根据题意，直线l的方程可设为y=kx+1，
将y=kx+1代入2x²+y²=2，得（k²+2）x²+2kx-1=0．
由韦达定理得：x1+x2=-

2k

k2+2

，x1x2=-

1

k2+2

，（10分）
所以S△ABO=

1

2

(- 2k k2+2 )2+ 4 k2+2

=

2 • k2+1

k2+2

=

2

k2+1 + 1 k2+1

≤

2

2

（当且仅当

k2+1

=

1

k2+1

，即k=0时等号成立）．（13分）
故△ABO的面积的最大值为

2

2

．（14分）

点评：本题考查椭圆的长轴和短轴的长，离心率，焦点和顶点的坐标的求法和计算△ABO（O为原点）的面积的最大值．解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．