Question

9、用n种不同的颜色为下列两块广告牌着色（如图甲、乙），要求在①②③④四个区域中相邻（有公共边界）的区域不用同一颜色．
（1）若n=6，则为甲图着色的不同方法共有

480

种；
（2）若为乙图着色时共有120种不同方法，则n=

5

．

Answer 1

分析：（1）由题意知本题是一个分步乘法计数原理，对区域①②③④按顺序着色，第一块有6种方法，第二块就不能选第一块的颜色，有5种结果，以此类推，根据分步计数原理得到结果．
（2）利用分步乘法计数原理得到不同的染色方法有n（n-1）（n-2）（n-3），根据共有120种结果，列出等式，解关于n的方程，得到结果．

解答：解：（1）由分步乘法计数原理，
对区域①②③④按顺序着色，共有6×5×4×4=480种方法．
（2）与第（1）问的区别在于与④相邻的区域由2块变成了3块．
同样利用分步乘法计数原理，得n（n-1）（n-2）（n-3）=120．
∴（n²-3n）（n²-3n+2）=120，
即（n²-3n）²+2（n²-3n）-12×10=0，
∴n²-3n-10=0，n²-3n+12=0（舍去），
解得n=5，n=-2（舍去）．
故答案为：（1）480 （2）5

点评：本题考查分步计数原理，考查利用排列组合知识解决实际问题的能力，要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素．