Question

(本小题满分12分)已知：y = f (x) 定义域为［–1，1］，且满足：f (–1) = f (1) = 0 ，对任意u ,v??[–1，1］，都有|f (u) – f (v) | ≤ | u –v | .(1) 判断函数p ( x ) = x² – 1 是否满足题设条件？(2) 判断函数g(x)=，是否满足题设条件？

Answer 1

(Ⅰ) 不满足  (Ⅱ)  满足

解析:

： (1) 若u ,v ?? [–1，1]， |p(u) – p (v)| = | u² – v² |=| (u + v )(u – v) |，取u = ??[–1，1]，v = ??[–1，1], 则  |p (u) – p (v)| = | (u + v )(u – v) | = | u – v | > | u – v |，所以p( x)不满足题设条件.

（2）分三种情况讨论：

1⁰. 若u ,v ?? [–1，0]，则|g(u) – g (v)| = |(1+u) – (1 + v)|=|u – v |，满足题设条件；

2⁰. 若u ,v ?? [0，1]， 则|g(u) – g(v)| = |(1 – u) – (1 – v)|= |v –u|，满足题设条件；

3⁰. 若u??[–1，0]，v??[0，1]，则：

    |g (u) –g(v)|=|(1 – u) – (1 + v)| = | –u – v| = |v + u | ≤| v – u| = | u –v|，满足题设条件;

4⁰  若u??[0，1]，v??[–1，0], 同理可证满足题设条件.综合上述得g(x)满足条件.