Question

【题目】已知集合A={a1 ， a2 ， …，am}．若集合A1∪A2∪A3∪…∪An=A，则称A1 ， A2 ， A3 ， …，An为集合A的一种拆分，所有拆分的个数记为f（n，m）．
（1）求f（2，1），f（2，2），f（3，2）的值；
（2）求f（n，2）（n≥2，n∈N*）关于n的表达式．

Answer 1

【答案】
（1）解：设A1∪A2={a1}，共有3种，即f（2，1）=3；

设A1∪A2={a1，a2}，若A1=，则有1种；若A1={a1}，则有2种；

若A1={a2}，则有2种；若A1={a1，a2}，则有4种；即f（2，2）=9；

设A1∪A2∪A3={a1，a2}，若A1=，则A2∪A3={a1，a2}，所以有f（2，2）=9种；

若A1={a1}，则A2∪A3={a1，a2}或A2∪A3={a2}，

所以有f（2，2）+f（2，1）=12；若A1={a2}，则有12种；

若A1={a1，a2}，则A2∪A3={a1，a2}或A2∪A3={a1}或A2∪A3={a2}或A2∪A3=，

所以有1+3+3+9=16种；即f（3，2）=49

（2）解：猜想f（n，2）=（2n﹣1）2，n≥2，n∈N*，用数学归纳法证明．

当n=2时，f（2，2）=9，结论成立．

假设n=k时，结论成立，即f（k，2）=（2k﹣1）2，

当n=k+1时，A1∪A2∪…∪Ak+1={a1，a2}

当Ak+1=时，A1∪A2∪A3∪…∪Ak={a1，a2}，所以有f（k，2）=（2k﹣1）2种；

当Ak+1={a1}时，A1∪A2∪…∪Ak={a1，a2}，所以有f（k，2）=（2k﹣1）2种，

或A1∪A2∪A3∪…∪Ak={a2}，所以有2k﹣1种，共有2k（2k﹣1）种；

同理当Ak+1={a2}时，共有2k（2k﹣1）种；

当Ak+1={a1，a2}时，A1∪A2∪A3∪…∪Ak={a1，a2}，所以有f（k，2）=（2k﹣1）2种，

或A1∪A2∪A3∪…∪Ak={a1}，所以有2k﹣1种，或A1∪A2∪…∪Ak={a2}，

所以有2k﹣1种，或A1∪A2∪A3∪…∪Ak=，所以有1种，共有22k种；

则f（k+1，2）=4（2k﹣1）2+4（2k﹣1）+1=（2k+1﹣1）2，

所以，当n=k+1时，结论成立．

所以f（n，2）=（2n﹣1）2，n≥2，n∈N*

【解析】（1）设A1∪A2={a1}，得f（2，1）=3； 设A1∪A2={a1 ， a2}，得f（2，2）=9；设A1∪A2∪A3={a1 ， a2}，由此利用分类讨论思想能求出f（3，2）．（2）猜想f（n，2）=（2n﹣1）2 ， n≥2，n∈N* ， 再利用数学归纳法进行证明．
【考点精析】解答此题的关键在于理解集合的并集运算的相关知识，掌握并集的性质：（1）AA∪B，BA∪B，A∪A=A，A∪=A,A∪B=B∪A;（2）若A∪B=B，则AB，反之也成立．