Question

【题目】已知函数f（x）＝alnx﹣ex（a∈R）．其中e是自然对数的底数．

（1）讨论函数f（x）的单调性并求极值；

（2）令函数g（x）＝f（x）+ex，若x∈[1，+∞）时，g（x）≥0，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．求出函数的导函数，然后对a分类讨论可得原函数的单调性并求得极值；

（2）对g（x）求导函数，对a分类讨论，当a≥0时，易得g（x）为单调递增，有g（x）≥g（1）＝0，符合题意．当a＜0时，结合零点存在定理可得存在x0∈（1，）使g′（x0）＝0，再结合g（1）＝0，可得当x∈（1，x0）时，g（x）＜0，不符合题意．由此可得实数a的取值范围．

（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．

f′（x）．

①当a≤0时，f′（x）＜0，可得函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，f（x）无极值；

②当a＞0时，由f′（x）＞0得：0＜x，可得函数f（x）在（0，）上单调递增．

由f′（x）＜0，得：x，可得函数f（x）在（，+∞）单调递减，

∴函数f（x）在x时取极大值为：f（）＝alna﹣2a；

（2）由题意有g（x）＝alnx﹣ex+ex，x∈[1，+∞）．

g′（x）．

①当a≥0时，g′（x）．

故当x∈[1，+∞）时，g（x）＝alnx﹣ex+ex为单调递增函数；

g（x）≥g（1）＝0，符合题意．

②当a＜0时，g′（x），令函数h（x），

由h′（x）0，c∈[1，+∞），

可知：g′（x）为单调递增函数，

又g′（1）＝a＜0，g′（x），

当x时，g′（x）＞0．

∴存在x0∈（1，）使g′（x0）＝0，

因此函数g（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，

又g（1）＝0，∴当x∈（1，x0）时，g（x）＜0，不符合题意．

综上，所求实数a的取值范围为[0，+∞）．