Question

已知不等式ax²+bx+c＞0的解集为（1，t），记函数f（x）=ax²+（a-b）x-c．
（1）求证：函数y=f（x）必有两个不同的零点．
（2）若函数y=f（x）的两个零点分别为m，n，求|m-n|的取值范围．
（3）是否存在这样实数的a、b、c及t，使得函数y=f（x）在[-2，1]上的值域为[-6，12]．若存在，求出t的值及函数y=f（x）的解析式；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意知，∵，∴，∴ac＞0．
对于函数f（x）=ax²+（a-b）x-c．有△=（a-b）²+4ac＞0，∴f（x）必有2个不同零点．
（2）
由不等式ax²+bx+c＞0的解集为（1，t）可知，ax²+bx+c=0的两个解分别为1和t（t＞1），
由韦达定理有，∴|m-n|²=t²+8t+4=（t+4）²-12，t∈（1，+∞），∴|m-n|²＞5²-12=13，∴，
即|m-n|的取值范围为（，+∞）．
（3）假设存在满足题意的实数a、b、c及t，∴
=a[x²+（2+t）x-t]（t≥1），∴f（x）的对称轴为，∴f（x）在[-2，1]的最小值为f（1）=3a=-6，则a=-2．
要使函数y=f（x）在[-2，1]上的值域为[-6，12]，只要f（x）_max=12即可．
①若时，f（x）_max=f（-2）=123，则有6t=12，∴t=24．
此时，a=-2，b=6，c=-4，t=2，∴f（x）=-2x²-8x+4．
②若，此时，，∴t=2（舍去），或t=-10（舍去 ）．
综上所述：当a=-2，b=6，c=-4，t=2时，函数y=f（x）在[-2，1]上的值域为[-6，12]，此时函数的表达式为f（x）=-2x²-8x+4．
分析：（1）由题意可得ac＞0，对于函数f（x）=ax²+（a-b）x-c，由△=（a-b）²+4ac＞0，可得f（x）必有2个不同零点．
（2）化简|m-n|²等于，由不等式ax²+bx+c＞0的解集为（1，t），可得有，化简|m-n|² =（t+4）²-12，t∈（1，+∞），利用二次函数的性质
可得|m-n|²的范围，从而求得|m-n|的取值范围．
（3）假设存在满足题意的实数a、b、c及t，化简f（x）等于a[x²+（2+t）x-t]（t≥1），f（x）的对称轴为，分和两种情况，
根据函数y=f（x）在[-2，1]上的值域为[-6，12]，分别求得a、b、c及t的值，从而得到结果．
点评：本题主要考查函数的零点的定义，二次函数的性质应用，求二次函数在闭区间上的最值，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．