Question

已知函数f（x）=elnx+

k

x

（其中e是自然对数的底数，k为正数）
（I）若f（x）在x₀处取得极值，且x₀是f（x）的一个零点，求k的值；
（Ⅱ）若k∈（1，e]，求f（x）在区间[

1

e

，1]上的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出原函数的导函数，由f'（x₀）=0求出x₀，代入f（x₀）=0求得k的值；
（Ⅱ）求出原函数的导函数，根据k的范围得到导函数零点的范围，由导函数的零点对给出的区间分段，判出导函数在两区间段内的符号，得到原函数在区间[

1

e

，1]上端点处取得最大值，通过比较两个端点值的大小得到答案．

解答：解：（Ⅰ）因为f（x）=elnx+

k

x

，所以f′(x)=

e

x

-

k

x2

．
由已知得f'（x₀）=0，即

e

x0

-

k

x 2 0

=0，∴x0=

k

e

又f（x₀）=0，即eln

k

e

+e=0，∴k=1；
（Ⅱ）f′(x)=

e

x

-

k

x2

=

e(x- k e )

x2

，
∵1＜k≤e，∴

1

e

≤

k

e

≤1，
由此得x∈(

1

e

，

k

e

)时，f（x）单调递减；x∈(

k

e

，1)时，f（x）单调递增．
故fmax(x)∈{f(

1

e

)，f(1)}
又f(

1

e

)=ek-e，f(1)=k，当ek-e＞k，即

e

e-1

＜k＜e时，fmax(x)=f(

1

e

)=ek-e．
当ek-e≤k，即1＜k＜

e

e-1

时，f_max（x）=f（1）=k．

点评：本题考查了利用导数求闭区间上的最值，考查了分类讨论的数学思想方法，解答的关键是比较端点值的大小，是中高档题．